Kuperat polygonit. Konvexin monikulmion määrittely. Kuperan monikulmion diagonaalit

Nämä geometriset kuviot ympäröivät meitä kaikkialla. Kuperat polygonit ovat luonnollisia, esimerkiksi mehiläiset hunajakennoja tai keinotekoisia (ihmisten luoma). Näitä lukuja käytetään erilaisten pinnoitteiden tuottamiseen, maalaukseen, arkkitehtuuriin, koristeluihin jne. Kuperilla polygoneilla on omaisuus, että kaikki niiden pisteet sijaitsevat linjan yhdellä puolella, joka kulkee tämän geometrisen kuvion vierekkäisten vertikaalien parin läpi. Muita määritelmiä on. Konvex on se polygoni, joka sijaitsee yhdellä puolitasolla suhteessa mihin tahansa riville, joka sisältää yhden sen puolista.

Kuperat polygonit

Alkeellisen geometrian aikana ainapidämme vain yksinkertaisia ​​polygoneja. Näiden geometristen kuvien kaikkien ominaisuuksien ymmärtämiseksi on välttämätöntä ymmärtää niiden luonnetta. Aluksi on ymmärrettävä, että kaikki rivit, joiden päät ovat samat, kutsutaan suljetuksi. Ja sen muodostamassa kuvassa voi olla erilaisia ​​kokoonpanoja. Monikulmio on yksinkertainen suljettu monikulmainen viiva, jonka viereiset linkit eivät ole samassa linjassa. Sen linkit ja huiput ovat vastaavasti tämän geometrisen kuvan sivut ja pisteet. Yksinkertaisella vyöhykkeellä ei saa olla itsekiertymiä.

Monikulmion huippupisteitä kutsutaan vierekkäin, siinäjos ne edustavat yhden sen sivujen päitä. Geometristä lukua, jolla on n: nnen vertailukertojen lukumäärä ja siten n: nnen sivumäärä, kutsutaan n-goniksi. Itse katkoviivaa kutsutaan tämän geometrisen hahmon rajalle tai ääriviivoiksi. Monikulmaista tasoa tai tasomonekvenssia kutsutaan minkä tahansa koneen rajattuna osana, jota se rajoittaa. Tämän geometrisen kuvion viereiset sivut ovat katkenneen viivan segmenttejä lähtien yhdestä kärkestä. Ne eivät ole naapurimaita, jos ne tulevat monikulmion eri päistä.

Konveksin polygonien muut määritelmät

Elementaalisessa geometriassa on useita muitavastaava määritelmän merkityksessä, mikä osoittaa, että monikulmio on nimeltään kupera. Ja kaikki nämä formulaatiot ovat yhtä totta. Kuperan monikulmion katsotaan olevan:

• jokainen segmentti, joka yhdistää kaikki kaksi sen sisäpuolella olevaa pistettä, on siinä;

• sen sisällä on kaikki lävistäjät;

• mikään sisäinen kulma ei ylitä 180 astetta.

Monikulmio jakaa aina tason 2: lläosa. Yksi niistä on rajoitettu (se voidaan sulkea ympyrään) ja toinen on rajoittamaton. Ensimmäistä kutsutaan sisemmäksi alueeksi, ja toista kutsutaan tämän geometrisen kuvion ulommaksi alueeksi. Tämä monikulmio on useiden puolivälien risteys (toisin sanoen yhteinen komponentti). Tällöin jokainen segmentti, joka päättyy monikulmioon kuuluvissa pisteissä, kuuluu kokonaan siihen.

Kuperan monikulmion lajikkeet

Konvexin monikulmion määritelmä ei osoitaettä on monia erilaisia. Ja kaikilla niillä on tiettyjä kriteerejä. Täten kuperan monikulmion, joka on sisäinen 180 °, viitataan hieman kupera. Kupera geometrinen kuvio, joka on kolme piikkiä, kutsutaan kolmio, neljä - nelisivuinen, viisi - viisikulmio, jne. Kukin kuperan n-gons täyttää seuraavat tärkeät vaatimukset: .. N, on oltava yhtä suuri tai suurempi kuin 3. Jokainen kolmio on kupera. Geometrinen kuva tämän tyyppinen, jossa kaikki solmut sijaitsevat ympyrän, kutsutaan sisään piirretyn ympyrän. Kelvollista monikulmia kutsutaan kuvailtavaksi, jos kaikki sivut lähellä olevaa ympyrää koskettavat sitä. Kaksi polygonia kutsutaan tasavertaiseksi vain, jos ne voidaan yhdistää peittokuvan avulla. Tasainen monikulmio kutsutaan monikulmainen tason (tason osa), että tämä rajallinen geometrinen kuvio.

Säännölliset kupera polygonit

Oikeita monikulmioita kutsutaangeometriset kuvat, joilla on samat kulmat ja sivut. Niiden sisällä on piste 0, joka on samalla etäisyydellä jokaisesta huippupisteestä. Sitä kutsutaan tämän geometrisen kuvan keskukseksi. Keskukset, jotka yhdistävät tämän geometrisen kuvion kärkipisteet, kutsutaan apopemeiksi, ja ne, jotka yhdistävät pisteen 0 sivuille, ovat säteitä.

Oikea nelikulmio on neliö. Oikeaa kolmiota kutsutaan tasasivuiseksi. Tällaisia ​​lukuja varten on olemassa seuraava sääntö: jokainen kuperan monikulmion kulma on 180 ° * (n-2) / n,

jossa n on tämän kupera geometrisen kuvion pisteet.

Minkä tahansa tavallisen monikulmion alue määritellään kaavalla:

S = p * h,

jossa p on puolet tietyn monikulmion kaikkien sivujen summasta ja h on yhtä suuri kuin apopheman pituus.

Kuperan monikulmion ominaisuudet

Kuperilla monikulmioilla on tiettyjä ominaisuuksia. Niinpä segmentti, joka yhdistää tällaisen geometrisen kuvion kahden pisteen, sijaitsee välttämättä siinä. todiste:

Oletetaan, että P on tietyn kuperamonikulmio. Ottaa kaksi mielivaltaista pistettä, esimerkiksi A ja B, jotka kuuluvat P. Kun nykyinen määritelmä kupera monikulmio, nämä pisteet sijaitsevat yhdellä puolella suoran viivan, joka sisältää minkä tahansa suuntaan R. Näin ollen, AB on myös tämä ominaisuus ja se sisältyy R. kupera monikulmio aina On mahdollista jakaa useisiin kolmioihin ehdottomasti kaikki diagonaalit, jotka on piirretty yhdestä sen huippuista.

Kupera geometristen kuvioiden kulmat

Kuperan monikulmion kulmat ovat kulmat, jotkamuodostavat sen osapuolet. Sisäiset kulmat ovat tämän geometrisen kuvan sisäpuolella. Kulma, joka muodostuu sen sivuista, jotka yhdistävät yhdestä kärkipisteestä, kutsutaan konvexin monikulmion kulmaksi. Kulmat, jotka sijaitsevat tietyn geometrisen kuvion sisäkulmien vieressä, kutsutaan ulkopuolisiksi. Jokainen sen sisällä oleva kupera polygon kulma on yhtä suuri kuin:

180 ° - x,

jossa x on ulomman kulman arvo. Tämä yksinkertainen kaava koskee kaikkia tämän tyyppisiä geometrisia kuvioita.

Yleisessä tapauksessa ulkoisia kulmia on olemassaseuraava sääntö: jokainen kupera monikulmion kulma on sama kuin 180 °: n ja sisäisen kulman välinen ero. Se voi olla arvoltaan -180 ° - 180 °. Siksi, kun sisäkulma on 120 °, ulompi kulma on 60 °.

Kuperan monikulmion kulmien summa

Kuperan monikulmion sisäkulmien summa määritetään kaavalla:

180 ° * (n-2),

missä n on n-gon-pisteet.

Kelvollisen monikulmion kulmien summa lasketaanaivan yksinkertaisesti. Harkitse tällaista geometrista kuvaa. Jotta kulmien summa määritettäisiin kuperan monikulmion sisällä, yksi sen päisteistä on kytkettävä muihin pisteisiin. Tämän toiminnan tuloksena saamme (n-2) kolmioita. On tunnettua, että minkä tahansa kolmion kulmien summa on aina 180 °. Koska niiden luku millä tahansa polygonilla on (n-2), tällaisen kuvion sisäkulmien summa on 180 ° x (n-2).

Kuperan polygonin kulmien summa, ts.kaksi sisäistä ja vierekkäistä ulompaa kulmaa, tämä kupera geometrinen kuva on aina 180 °. Tästä eteenpäin on mahdollista määrittää kaikkien sen kulmien summa:

180 х n.

Sisäisten kulmien summa on 180 ° * (n-2). Tästä lähtien kaikkien määritettyjen kuvien ulkoisten kulmien summa määritetään kaavalla:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Kunkin kuperaisen polygonin ulomman kulmien summa on aina 360 ° (riippumatta sen sivujen lukumäärästä).

Kuperan monikulmion ulkokulmaa kuvataan yleisesti 180 °: n ja sisäisen kulman välisellä erolla.

Konvexin monikulmion muut ominaisuudet

Näiden geometristen perusominaisuuksien lisäksiluvut, heillä on muita, jotka syntyvät manipuloimalla niitä. Siten jokainen monikulmio voidaan jakaa useisiin kuperisiin n-goneihin. Tätä varten on tarpeen jatkaa jokaista sivuaan ja leikata tämä geometrinen kuva pitkin näitä suoraviivoja. Jaa monikulmio useiksi kuperiksi osiksi ja siten, että kunkin palan kärjet yhtyvät kaikkiin sen päihin. Tästä geometrisesta kuvasta on hyvin yksinkertaista tehdä kolmioita pitämällä kaikki diagonaalit yhdestä kärkestä. Tällöin mikä tahansa monikulmio voidaan lopullisessa analyysissä jakaa tiettyyn määrään kolmiota, mikä on erittäin hyödyllinen tällaisten geometristen lukujen kanssa liittyvien erilaisten ongelmien ratkaisemisessa.

Kuperan monikulmion ympärysmitta

Polyline-kappaleet, joita kutsutaan sivuiksimonikulmio, jota useimmiten merkitään seuraavilla kirjaimilla: ab, bc, cd, de, ea. Nämä ovat geometrisen kuvan sivuja, joiden verteksien a, b, c, d, e. Tämän kuperan monikulmion kaikkien sivujen pituuksien summa on nimeltään sen kehä.

Monikulmion ympyrä

Kuperat polygonit voidaan merkitä jaon kuvattu. Tämän geometrisen kuvion kaikki sivut koskettavat ympyrää kutsutaan siihen kirjoitettuna. Tällaista monikulmiota kutsutaan kuvatuksi. Ympyrän keskipiste, joka on kirjoitettu monikulmioksi, on kaikkien kulmien bisectoiden leikkauspiste tietyssä geometrisessä kuvassa. Tällaisen monikulmion alue vastaa:

S = p * r,

jossa r on merkitty ympyrän säde ja p on annetun monikulmion semiperimetri.

Ympyrä, joka sisältää monikulmion,nimeltään kuvattu lähellä sitä. Tässä tapauksessa tämä kupera geometrinen kuva kutsutaan kirjoitetuksi. Ympyrän keskus, joka on kuvattu noin tällainen monikulmio on niin kutsuttu leikkauspiste midperpendiculars puolelta.

Kuperan geometrisen kuvan kaaviot

Kuperan monikulmion diagonaalit ovat segmenttejä,joka ei liitä vierekkäisiä pisteitä. Jokainen niistä on tämän geometrisen kuvan sisällä. Tällaisen n-gonin diagonaalien lukumäärä määritetään kaavalla:

N = n (n-3) / 2.

Konvexin monikulmion lävistäjien lukumäärä soitärkeä rooli elementaarisessa geometriassa. Kolmioiden (K) määrä, johon kukin kupera monikulmio voidaan jakaa, lasketaan seuraavalla kaavalla:

K = n - 2.

Konvexin monikulmion diagonaalien määrä riippuu aina sen huippupisteiden lukumäärästä.

Kuperan monikulmion jakaminen

Joissakin tapauksissa geometrian ratkaisuon tarpeen jakaa kupera monikulmio useisiin kolmioihin, joilla on erilliset diagonaalit. Tämä ongelma voidaan ratkaista tuottamalla selkeä kaava.

Ongelman määritelmä: kutsumme tietyn osion kuperan n-gonin useiksi kolmioiksi diagonaaleilla, jotka leikkaavat vain tämän geometrisen kuvion kärkipisteissä.

ratkaisu: Oletetaan, että P1, P2, P3 ..., Pn ovat tämän n-gonin pisteet. Numero Xn on sen väliseinien lukumäärä. Tarkastelemme tarkkaan geometrisen Pi Pn: n tulosta. Missä tahansa tavallisesta väliseinistä P1 Pn kuuluu tiettyyn kolmioon P1 Pi Pn, jolle 1 <i <n. Tästä eteenpäin ja olettaen, että i = 2,3,4 ..., n-1, saadaan näiden osioiden ryhmät (n-2), joihin kaikki mahdolliset erikoistapaukset sisältyvät.

Olkoon i = 2 yksi säännöllisen ryhmänjoka aina sisältää diagonaalisen P2 Pn. Niiden osioiden lukumäärä, jotka tulevat siihen, on yhtä kuin (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn: n väliseinien lukumäärä. Toisin sanoen se on Xn-1.

Jos i = 3, tämä toinen partitioryhmä tulee olemaanaina sisältävät diagonaalit P3 P1 ja P3 Pn. Lisäksi tässä ryhmässä olevien säännöllisten osioiden määrä vastaa osioiden (n-2) -gon P3 P4 ... Pn määrää. Toisin sanoen se on yhtä kuin Xn-2.

Olkoon i = 4, sitten kolmioiden joukossa säännöllinenhajoaminen edellyttää välttämättä kolmiota P1 P4 Pn, johon nelikulma P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 ... Pn tulee vierekkäin. Tällaisen nelikulmion säännöllisten osioiden lukumäärä on X4, ja (n-3) -gon osioiden lukumäärä on yhtä kuin Xn-3. Kaiken edellä esitetyn perusteella voimme sanoa, että tässä ryhmässä olevien tavallisten osioiden kokonaismäärä on Xn-3 X4. Muut ryhmät, joiden i = 4, 5, 6, 7 ... sisältävät Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... säännöllisiä osioita.

Olkoon i = n-2, silloin säännöllisen osion määrä tietyllä ryhmällä on sama kuin ryhmän osioiden lukumäärä, jolle i = 2 (toisin sanoen Xn-1).

Koska X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., niin kuperan monikulmion kaikkien osioiden lukumäärä on yhtä suuri kuin:

Xn = xn-1 + xn-2 + xn-3, xn-X4 + X5 + 4 ... + x 5 + 4 Xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-Xn-1.

esimerkiksi:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Sellaisten säännöllisten osioiden lukumäärä, jotka leikkaavat yhden diagonaalin

Tiettyjen tapausten todentamisessa voidaan olettaa, että kupera n-gonien diagonaalien määrä on yhtä suuri kuin kaikkien tämän luvun kaikkien osioiden tuotos (n-3).

Todiste tästä oletuksesta: että P1n = Xn * (n-3), niin mikä tahansa n-gon voidaan hajota (n-2) -triangeleiksi. Samaan aikaan yksi niistä voidaan yhdistää (n-3) - nelikulmio. Tämän lisäksi jokaisella neljänneksellä on lävistäjä. Koska tässä kaarevassa geometrisessä kuvassa voidaan piirtää kaksi diagonaalia, tämä tarkoittaa, että on mahdollista piirtää ylimääräisiä diagonaaleja (n-3) mille tahansa (n-3) käämälle. Tästä voi päätellä, että millä tahansa säännöllisellä osioilla on mahdollista suorittaa (n-3) -diagonaalit, jotka vastaavat tämän ongelman ehtoja.

Kuperan monikulmion alue

Usein eri ongelmien ratkaisemisessa, elementaarinengeometriaa, on välttämätöntä määritellä kupera polygonin alue. Oletetaan, että (Xi, Yi), i = 1,2,3 ... n on kaikkien vierekkäisten vertikaalien koordinaattien järjestys, jolla ei ole itsekierteitä. Tässä tapauksessa sen pinta-ala lasketaan seuraavalla kaavalla:

S = ½ (Σ (X_minä + X_{i + 1}) (Y_minä + Y_{i + 1})),

jossa (X₁Y₁) = (X_{n + 1}Y_{n + 1}).